Question

已知函数f（x）在[1，2]上的表达式为f（x）=x，若对于x∈R，有f（x+2）=f（2-x），且f（x+3）=f（x+1），则f（

9

2

）的值为

3

2

．

Answer 1

分析：由已知等式判断出函数的对称轴；利用对称性将f(

9

2

)转化为f(-

1

2

)；再根据f（x+3）=f（x+1）得到f（-

1

2

）=f（

3

2

），

3

2

在已知的定义域内，代入已知解析式求出值即可．

解答：解：∵f（x+2）=f（2-x）
∴x=2是对称轴
∴f(

9

2

)=f(-

1

2

)
又因为f（x+3）=f（x+1）⇒f（x+2）=f（x）⇒f（-

1

2

）=f（

3

2

），
∵f（x）在[1，2]上的表达式为f（x）=x，
∴f(

9

2

)=f(-

1

2

)=f（

3

2

）=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：利用抽象函数满足的一些恒等式能得到函数的一些性质：当f（x）满足f（x+a）=f（b-x）时，则有f（x）关于x=

a+b

2

对称．