Question

已知函数y=x+有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，］上是减函数，在［,+∞）上是增函数.

(1)如果函数y=x+在(0,4］上是减函数,在［4，+∞)上是增函数，求实常数b的值；

（2）设常数c∈［1,4］,求函数f(x)=x+,x∈［1,2］的最大值和最小值；

（3）当n是正整数时，研究函数g(x)=xⁿ+(c＞0)的单调性，并说明理由.

Answer 1

分析:本题设计新颖，层层递进，是演绎推理的典型应用，要正确理解题意.根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法进行证明、推理，寻找题目中的大前提和小前提.

解：（1）由函数y=x+的性质，知y=x+在［0，］上是减函数，在［,+∞）上是增函数.∴2^b=4,即2^b=16=2⁴.∴b=4.

(2)∵c∈［1,4］,∴∈［1,2］.

又∵ f(x)=x+在（0，］上是减函数，在［,+∞)上是增函数.∴在x∈［1,2］上，当x=时，函数取得最小值2.又f(1)=1+c,f(2)=2+,f(2)-f(1)=1-.

当c∈［1,2)时，f(2)-f(1)＞0,f(2)＞f(1).

此时f(x)的最大值为f(2)=2+.

当c=2时,f(2)-f(1)=0,f(2)=f(1).

此时f(x)的最大值为f(2)=f(1)=3.

当c∈(2,4］时，f(2)-f(1)＜0,f(2)＜f(1).此时f(x)的最大值为f(1)=1+c.

(3)g′(x)=nx^n-1-,令g′(x)=0,得x²ⁿ=c，∴x=±

又∵x≠0,列表分析，如下：

x	（0，)		(,+∞)
f′(x)	-	0	+
f(x)		极小值

 

于是函数g(x)在（0，）上是减函数，在［,+∞)上是增函数.

当n是正奇数时，g(x)=xⁿ+,在（-∞,0）∪(0,+∞)上是奇函数，于是g(x）在（-∞,-］上是增函数，在［-,0］上是减函数；

当n是正偶数时，g(x)=xⁿ+在（-∞,0）∪(0,+∞)上是偶函数，于是g(x)在（-∞,-］上是减函数，在［-,0］上是增函数.