Question

已知数列{a_n}（n∈N^*）是首项为1的等差数列，其公差d＞0，且a₃、a₇+2、3a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求f（n）=

sn	(n+18)Sn+1

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由a₃、a₇+2、3a₉成等比数列求得d，再用等差数列通项公式求解
（2）由a_n求得s_n代入f（n），化简再用双勾函数求得最值

解答：解：（1）∵a₃、a₇+2、3a₉成等比数列
∴（a₇+2）²=a₃•3a₉
即：（a₁+6d+2）²=（a₁+2d）•3（a₁+8d）
解得：d=1
∴a_n=n；
（2）由（1）得sn=

n(n+1)

2

∴f（n）=

n(n+1) 2

(n+18)• (n+1)(n+2) 2

=

n

(n+18)(n+2)

=

1

n+ 36 n +20

≤

1

32

∴f（n）的最大值为

1

32

．

点评：本题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式和函数思想．