Question

某家具厂有方木料90m³，五合板600m²，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m³，五合板2m²，生产每个书橱需要方木料0.2m²，五合板1m²，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．
（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？
（2）如果只安排生产书橱，可获利润多少？
（3）怎样安排生产可使所得利润最大？

Answer 1

分析：这是一个实际生活中的最优化问题，可根据条件列出线性约束条件和目标函数，画出可行域求解．
（1）由于只安排生产书桌，则根据已知条件，易得生产书桌的最大量，进一步得到利润．
（2）由于只安排生产书橱，则根据已知条件，易得生产书橱的最大量，进一步得到利润．
（3）可设出生产书桌和书橱的件数，列出目标函数，根据材料限制列出约束条件，画出可行域，根据线性规划的处理方法，即可求解．

解答：解：由题意可画表格如下：

（1）设只生产书桌x个，可获得利润z元，
则

0.1x≤90 2x≤600 z=80x

?

x≤900 x≤300

?x≤300．
所以当x=300时，z_max=80×300=24000（元），即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元．
（2）设只生产书橱y个，可获利润z元，则

0.2y≤90 1•y≤600 z=120y

?

y≤450 y≤600

?y≤450．
所以当y=450时，z_max=120×450=54000（元），即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元．
（3）设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元．
则

0.1x+0.2y≤90 2x+y≤600 x≥0 y≥0

?

x+2y≤900 2x+y≤600 x≥0 y≥0

z=80x+120y．
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．
作直线l：80x+120y=0，
即直线l：2x+3y=0．
把直线l向右上方平移至l₁的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z=80x+120y取得最大值．
由

x+2y=900 2x+y=600

解得点M的坐标为（100，400）．
所以当x=100，y=400时，z_max=80×100+120×400=56000（元）．
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．

点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．