题目内容
已知：a,b,c同号且互不相等，a+b+c=1,求证：
+
+
＞9.
思路分析：本题解法较多，已知条件中a+b+c可看作是“1”的代换，然后两两结合使用基本不等式，或者看作6个正数的均值不等式.
证法一：++=
=1+
+
+
+1+
+
+
+1
=(
+
)+(
+
)+(
+
)+3.
∵a,b,c同号，且a+b+c=1.
∴a＞0,b＞0,c＞0.
∴
,
,
,
,
,
均大于0.又a,b,c互不相等，由基本不等式，得
+
＞2,
+
＞2,
+
＞2.
于是，左边＞2+2+2+3=9.
∴
+
+
＞9.
证法二：
+
+
=
=3+(
+
+
+
+
+
).
∵a,b,c同号且a+b+c=1,
∴a＞0,b＞0,c＞0.
∴
,
,
,
,
,
均大于0，又a,b,c互不相等.由6个正数的均值不等式，得
左边=3+(
+
+
+
+
+
)≥3+
=3+6=9.
∴
+
+
=9.
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