Question

已知．
（I）当b=-l时，求证：f（x）＞g（x）；
（II）是否存在实数b，使f（x）的最小值是2，若存在求出b的值，若不存在说明理由．

Answer 1

（I）证明：当b=-l时，f（x）=-x-ln（-x），g（x）=
∵，当x∈（-，-1）时，f′（x）＜0，当x∈（-1，0）时，f′（x）＞0
∴f（x）在x∈（-，-1）时，单调递减；在x∈（-1，0）时，单调递增
∴f（x）的最小值为f（-1）=1＞0
∵，当x∈[-，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）的最大值为
即f（x）的最小值大于g（x）的最大值
∴当b=-l时，f（x）＞g（x）；
（II）解：f（x）=-ln（-x）+bx，x∈[-，0），f′（x）=b-=
当b=0时，f′（x）=-＞0，∴f（x）_min=f（-）=
当b＞0时，f′（x）=b-＞0，，∴f（x）_min=f（-）=-
当b＜0时，f′（x）=
若，即时，f′（x）=b-≥0，
∴f（x）_min=f（-）=-
∴
∵
∴
∴，不满足
故不存在实数b，使f（x）的最小值是2．
分析：（I）求导函数，确定函数的单调性，可得f（x）的最小值，g（x）的最大值，可知f（x）的最小值大于g（x）的最大值，故得证；
（II）求导函数，进行分类讨论，求函数的最小值，利用f（x）的最小值是2，即可得到结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，综合性强．