Question

（2012•孝感模拟）设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，点（S_n+1，S_n）在直线

x

n+1

-

y

n

=1，其中n∈N^*
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设T_n=

Sn

Sn+1

+

Sn+1

Sn

-2，证明：

4

3

≤T₁+T₂+T₃+…+Tn＜3．

Answer 1

分析：（I）根据点（S_n+1，S_n）在直线

x

n+1

-

y

n

=1，可得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1，从而数列{

Sn

n

}构成以2为首项，1为公差的等差数列，由此可得S_n=n²+n，再写一式，两式相减，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（II）T_n=

Sn

Sn+1

+

Sn+1

Sn

-2=

2

n

-

2

n+2

，利用T_n＞0及叠加法，即可证得结论．

解答：（I）解：∵点（S_n+1，S_n）在直线

x

n+1

-

y

n

=1，∴

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1
∴数列{

Sn

n

}构成以2为首项，1为公差的等差数列
∴

Sn

n

=2+（n-1）=n+1
∴S_n=n²+n
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，而a₁=2
∴a_n=2n；
（II）证明：∵S_n=n²+n
∴T_n=

Sn

Sn+1

+

Sn+1

Sn

-2=

2

n

-

2

n+2

，
∵n∈N^*，∴T_n＞0
∴T₁+T₂+T₃+…+T_n＞

4

3

∵T₁+T₂+T₃+…+T_n=2[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…+（

2

n

-

2

n+2

）]=3-

2

n+1

-

2

n+2

＜3
∴

4

3

≤T₁+T₂+T₃+…+T_n＜3．

点评：本题考查数列与函数的结合，考查数列的通项，考查裂项法求和，解题的关键是确定数列的通项，正确运用求和的方法．