Question

（本小题满分12分）

已知椭圆C :经过点离心率为。

（Ⅰ） 求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点。求O到直线l的距离的最小值。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）点O到直线l的距离的最小值为。

【解析】

试题分析：（1）由已知， 所以.

又点在椭圆C上，可以得 

所以椭圆方程为                         （4分）

（2）当直线l有斜率时，设方程为

则由消去y，得

设点A、B、P的坐标分别为

则    （7分）

P 在椭圆上，可得，化简得

需满足

又点O到直线l的距离为d=

当且仅当k=0时等号成立。

当直线l斜率不存在时，由对称性知，点P一定在x轴上，

从而P（-2，0）（2，0），直线l为x=1或x=-1，所以点O

到直线l的距离为1.

所以点O到直线l的距离的最小值为。                 （12分）

（直接写出P为短轴端点，并求出距离,但未证明的给4分）

考点：本题主要考查椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系。

点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆标准方程时，主要运用了椭圆的定义及几何性质。（2）作为研究点到直线的距离最值问题，利用了函数思想。