Question

已知函数f（x）=a+bsinx+ccosx（其中b＞0）的图象经过点A（0，1）、B（

π

2

，1）．当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为2

2

-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）由y=sinx的图象经过怎样的变换可得到f（x）的图象．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数图象过A和B两点，把A和B两点代入函数解析式中，得到两个方程，两方程相减可得b=c，把函数解析式中的c化为b，后两项提取

2

，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据x的范围，利用正弦函数的值域表示出函数的最大值，与已知的最大值相等列出关于a与b的方程，与前面得到关系式a+b=1联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，代入可确定出函数的解析式；
（Ⅱ）分三步平移，（i）先由y=sinx图象上所有点向左平移

π

4

个单位；（ii）由第一步平移后函数图象上所有点的纵坐标变为原来的2

2

倍；（iii）最后再由第二步平移后函数的图象上所有点向下平移一个单位，可得出函数f（x）的图象．

解答：解：（Ⅰ）∵函数图象过点A（0，1）、B（

π

2

，1），
把两点坐标代入函数解析式得：

a+c=1① a+b=1②

，
①-②得：c-b=0，即b=c，
∴f(x)=a+bsinx+bcosx=a+

2

bsin(x+

π

4

)(b＞0)，
∵当x∈[0，

π

2

]时，f(x)的最大值为2

2

-1，
∴

2

b+a=2

2

-1③，
联立②③，解得：

a=-1 b=2

，
则f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1；
（Ⅱ）分三步平移：
（i）由y=sinx图象上所有点向左平移

π

4

个单位得到f(x)=sin(x+

π

4

)的图象；
（ii）由f(x)=sin(x+

π

4

)的图象上所有点的纵坐标变为原来的2

2

倍，得到f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)的图象；
（iii）由f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)的图象上所有点向下平移一个单位，得到f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1的图象．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，以及三角函数的图象变换规律，熟练掌握公式是解本题的关键．