题目内容
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是| 3 |
（1）求证：B1C∥平面A1BD；
（2）求二面角A1-BD-A的大小；
（3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．
分析：（1）由题意及题中P为AB1中点和D为AC中点，中点这样信息，得到线线PD∥B1C平行，在利用PD∥平面A1BD线面平行，利用线面平行的判定定理得到线面B1C∥平面A1BD平行；
（2）有正三棱柱及二面角平面角的定义，找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大小；
（3）利用条件及上两问的证题过成找到∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的线面角，然后再三角形中解出即可．
（2）有正三棱柱及二面角平面角的定义，找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大小；
（3）利用条件及上两问的证题过成找到∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的线面角，然后再三角形中解出即可．
解答：
解：（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，
∵D为AC中点，∴PD∥B1C．
又∵PD∥平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD．
（2）∵正三棱住ABC-A1B1C1，
∴AA1⊥底面ABC．
又∵BD⊥AC
∴A1D⊥BD
∴∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角．
∵AA1=
，AD=
AC=1
∴tan∠A1DA=
=
∴∠A1DA=
，即二面角A1-BD-A的大小是
．
（3）由（2）作AM⊥A1D，M为垂足．
∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC
∴BD⊥平面A1ACC1，
∵AM?平面A1ACC1，
∴BD⊥AM
∵A1D∩BD=D
∴AM⊥平面A1DB，连接MP，则∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角．
∵AA1=
，AD=1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA=
，
∴AM=1×sin60°=
，AP=AB1=
．
∴sin∠APM=
=
=
∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为
．
解：（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，∵D为AC中点，∴PD∥B1C．
又∵PD∥平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD．
（2）∵正三棱住ABC-A1B1C1，
∴AA1⊥底面ABC．
又∵BD⊥AC
∴A1D⊥BD
∴∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角．
∵AA1=
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴tan∠A1DA=
| A1A |
| AD |
| 3 |
∴∠A1DA=
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（3）由（2）作AM⊥A1D，M为垂足．
∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC
∴BD⊥平面A1ACC1，
∵AM?平面A1ACC1，
∴BD⊥AM
∵A1D∩BD=D
∴AM⊥平面A1DB，连接MP，则∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角．
∵AA1=
| 3 |
| π |
| 3 |
∴AM=1×sin60°=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴sin∠APM=
| AM |
| AP |
| ||||
|
| ||
| 7 |
∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为
| ||
| 7 |
点评：此题重点考查了线面平行的判定定理，线面角的概念及二面角的平面角的定义，还考查了在三角形中求解角的大小，及学生的空间想象能力及计算能力．
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