Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为s_n，当n≥2，（n∈N^*），an=

3

2

sn-

3

4

sn-1-1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{n•|a_n|}的前n项和为T_n，若对任意n∈N^*，都有T_n＜C，求正整数C的最小值；
（3）证明：对一切n≥2，n∈N^*时，n-

1

2

＜

|a2|

|a1|

+

|a3|-1

|a2|-1

+

|a4|-1

|a3|-1

+…+

|an+1|-1

|an|-1

＜n+

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由

an= 3 2 sn- 3 4 sn-1-1 an+1= 3 2 sn+1- 3 4 sn-1

得an+1-an=

3

2

an+1-

3

4

an，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）依题意：Tn=1+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+n(

1

2

)n-12Tn=2+2×1+3×

1

2

+…+n(

1

2

)n-2，再由错位相减法能够求出满足条件T_n＜c的最小正整数．
（3）记L=

|a2|

|a1|

+

|a3|-1

|a2|-1

+…+

|an+1|-1

|an|-1

．一方面L＞

1

2

+1+…+1=n-

1

2

，另一方面L≤

1

2

+(1+

1

2

)+(1+

1

22

)+…+(1+

1

2n-1

)=

1

2

+(n-1)+(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=n-

1

2

+1-(

1

2

)n-1＜n+

1

2

．由此能够证明n-

1

2

＜

|a2|

|a1|

+

|a3|-1

|a2|-1

+

|a4|-1

|a3|-1

+…+

|an+1|-1

|an|-1

＜n+

1

2

．

解答：解：（1）由

an= 3 2 sn- 3 4 sn-1-1 an+1= 3 2 sn+1- 3 4 sn-1

得an+1-an=

3

2

an+1-

3

4

an
所以an+1=-

1

2

an(n≥2)a₂，a₃，…a_n成等比…（3分）
故an=

1(n=1) -(- 1 2 )n-1(n≥2)

…（4分）
（2）依题意：Tn=1+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+n(

1

2

)n-12Tn=2+2×1+3×

1

2

+…+n(

1

2

)n-2
两式错们相减得：Tn=2+1+

1

2

+…+(

1

2

)n-2-n(

1

2

)n-1=4-(

1

2

)n-2-n(

1

2

)n-1
所以对一切n∈N₊有T_n＜4且T_n是递增的
又因为T4=1+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4(

1

2

)3＞3
所以满足条件T_n＜c的最小正整数c=4…（8分）
（3）记L=

|a2|

|a1|

+

|a3|-1

|a2|-1

+…+

|an+1|-1

|an|-1

一方面|

a2

a1

|=

1

2

，n≥2时

|an+1|-1

|an|-1

=

( 1 2 )n-1

( 1 2 )n-1-1

=

2n-1

2(2n-1-1)

=

2n-1- 1 2

2n-1-1

＞1
所以L＞

1

2

+1+…+1=n-

1

2

…（10分）
另一方面|

a2

a1

|=

1

2

，n≥2时

|an+1|-1

|an|-1

=

( 1 2 )n-1

( 1 2 )n-1-1

=

2n-1

2(2n-1-1)

=

2n-1- 1 2

2n-1-1

=1+

1

2(2n-1-1)

=1+

1

2n-2

≤1+

1

2n-1

（只有n=2时取等）
所以L≤

1

2

+(1+

1

2

)+(1+

1

22

)+…+(1+

1

2n-1

)=

1

2

+(n-1)+(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)
=n-

1

2

+1-(

1

2

)n-1＜n+

1

2

，
∴对一切n≥2，n∈N^*时，n-

1

2

＜

|a2|

|a1|

+

|a3|-1

|a2|-1

+

|a4|-1

|a3|-1

+…+

|an+1|-1

|an|-1

＜n+

1

2

．…（12分）

点评：本题考查数列和不等式的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．