Question

直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AC⊥CB，D为AB中点，CB=1，，．
（I）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（II）求二面角A-A₁C-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）由连接AC₁，A₁C∩AC₁=O，由中位线定理得到OD∥BC₁，再由线面平行的判定定理得到结论；
（II）根据直三棱柱的特征建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标，进而求得向量的坐标，再由二面角的向量公式求解．
解答：（I）证明：连接AC₁，A₁C∩AC₁=O，
连接OD，则OD∥BC₁，
∴BC₁∥平面A₁CD；
（II）在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∵AC⊥CB，
∴分别以CA，CB，CC₁所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系C-xyz，
因为BC=1，，
则C（0，0，0），A（），，B（0，1，0），D（）
设平面A₁DC的法向量为n（x，y，z）则

∵，，
∴则，
取x=1，得平面A₁DC的一个法向量为n=．
m=为平面CAA₁C₁的一个法向量．
cos
由图可知，二面角A-A₁C-D的大小为
点评：本题主要考查线面平行的判定定理以及向量法求解空间角问题．