Question

已知正方形ABCD边长为1，图形如示，点E为边BC的中点，正方形内部一动点P满足：P到线段AD的距离等于P到点E的距离，那么P点的轨迹与正方形的上、下底边及BC边所围成平面图形的面积为

11

24

．

Answer 1

分析：由题设条件，需要先求出动点P的方程即抛物线的方程，再利用积分求出面积，积分时可以以x作为积分变量即可计算出两曲线所围成的图形的面积．

解答：解：如图，建立平面直角坐标系，动点P的轨迹是以（0，

1

2

）为焦点的抛物线，其方程为：y=

1

2

x²，
那么P点的轨迹与正方形的上、下底边及BC边所围成平面图形的面积为
S=

∫

1 2 - 1 2

（

1

2

-

1

2

x²）dx=（

1

2

x-

1

6

x³）

|

1 2 - 1 2

=

11

24

．
故答案为：

11

24

点评：本题考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、定积分在求面积中的应用等基本知识，解答本题关键是确定积分变量与积分区间，有些类型的题积分时选择不同的积分变量，解题的难度是不一样的．