Question

已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

．斜率为k（k≠0）的直线?过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m），且当k=1时，下焦点到直线?的距离为

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据k=1时，下焦点到直线?的距离为

2

，可求得c=1，利用离心率为

2

2

，可求得a=

2

，从而可求椭圆的方程；
（2）设直线的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，借助于线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m），设线段PQ中点为N，从而有k_MN•k=-1，由此可求m的取值范围．

解答：解：（1）依题意可得，下焦点坐标为（0，-c），上焦点坐标为（0，c），直线方程为y=x+c
∵下焦点到直线?的距离为

2

，∴

2

=

|2c|

2

，∴c=1
∵

c

a

=

2

2

，c=1，可得a=

2

∴b=1
所以椭圆方程为

y2

2

+x2=1
（2）设直线的方程为y=kx+1
由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

可得（k²+2）x²+2kx-1=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则x1+x2=

-2k

k2+2

，x1x2=

-1

k2+2

可得y1+y2=k(x1+x2)+2=

4

k2+2

设线段PQ中点为N，则点N的坐标为(

-k

k2+2

，

2

k2+2

)
由题意有k_MN•k=-1
可得

m- 2 k2+2

k k2+2

•k=-1，可得m=

1

k2+2

∵k≠0，∴0＜m＜

1

2

点评：本题以椭圆的几何性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是借助于线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m），设线段PQ中点为N，从而有k_MN•k=-1