Question

（12分）如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上。

（1）求证：平面AEC⊥PDB；

（2）当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小。

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：见解析；（2）AE与面PDB所成角的大小为45°。

【解析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；

（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．

（1）证明：∵底面ABCD是正方形

∴AC⊥BD

又PD⊥底面ABCD  

PD⊥AC

（2）解：设AC与BD交于O点，连接EO

则易得∠AEO为AE与面PDB所成的角

∵E、O为中点      ∴EO＝PD          ∴EO⊥AO

∴在Rt△AEO中   OE＝PD＝AB＝AO

∴∠AEO＝45°    即AE与面PDB所成角的大小为45°