Question

如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB²-AC²=DB²-DC²．求证：AD⊥BC．

Answer 1

分析：设

AB

=

a

，

AC

=

b

，

AD

=

e

，

DB

=

c

，

DC

=

d

，将

a

=

e

+

c

、

b

=

e

+

d

代入

a

²-

b

²的式子，化简整理

a

²-

b

²=

c

²+2

e

•

c

-2

e

•

d

-

d

²，结合题意

a

²-

b

²=

c

²-

d

²化简，可得

e

•（

c

-

d

）=0，再结合向量的加减法法则得到

AD

•

BC

=0，由此结合数量积的性质即可得到AD⊥BC．

解答：解：设

AB

=

a

，

AC

=

b

，

AD

=

e

，

DB

=

c

，

DC

=

d

，
则

a

=

e

+

c

，

b

=

e

+

d

．
∴

a

²-

b

²=（

e

+

c

）²-（

e

+

d

）²
=

c

²+2

e

•

c

-2

e

•

d

-

d

²．
∵由已知AB²-AC²=DB²-DC²，得

a

²-

b

²=

c

²-

d

²，
∴

c

²+2

e

•

c

-2

e

•

d

-

d

²=

c

²-

d

²，即

e

•（

c

-

d

）=0．
∵

BC

=

BD

+

DC

=

d

-

c

，∴

AD

•

BC

=

e

•（

d

-

c

）=0，
因此，可得

AD

⊥

BC

，即AD⊥BC．

点评：本题给出三角形ABC内满足平方关系的点D，求证AD⊥BC．着重考查了平面向量的加减法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．