Question

已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（-4）=-1，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（a+2b）＜1，则

a+2

b+2

的取值范围是（　　）

• A、(

  1

  3

  ，2)
• B、(

  1

  2

  ，3)
• C、（-1，10）
• D、（-∞，-1）

Answer 1

分析：先由导函数f′（x）是过原点的二次函数入手，再结合f（x）是定义域为R的奇函数求出f（x）；然后根据a、b的约束条件画出可行域，最后利用

a+2

b+2

的几何意义解决问题．

解答：解：由f（x）的导函数f′（x）的图象，设f′（x）=mx²，则f（x）=

1

3

mx3+n．
∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，即n=0．
又f（-4）=

1

3

m×（-64）=-1，∴f（x）=

1

64

x³=(

x

4

)3．
且f（a+2b）=(

a+2b

4

)3＜1，∴

a+2b

4

＜1，即a+2b＜4．
又a＞0，b＞0，则画出点（b，a）的可行域如下图所示．

而

a+2

b+2

可视为可行域内的点（b，a）与点M（-2，-2）连线的斜率．
又因为k_AM=3，k_BM=

1

2

，所以

1

2

＜

a+2

b+2

＜3．
故选B．

点评：数形结合是数学的基本思想方法：遇到二元一次不定式组要考虑线性规划，遇到

y-b

x-a

的代数式要考虑点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．这都是由数到形的转化策略．