Question

（本小题满分14分）

已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．

（1）求实数的值；

（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；

（3）当时，证明．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）解：因为，所以．……………………1分

因为函数的图像在点处的切线斜率为3，

所以，即．

所以．………………………………………………………………2分

（2）解：由（1）知，，

∴对任意恒成立，即对任意恒成立．…………3分

令，

则，…………………………………………4分

令，

则，

所以函数在上单调递增．…………………………………5分

因为，

所以方程在上存在唯一实根，且满足．

当，即，当，

即，………………6分

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

所以

．……………7分

所以．

故整数的最大值是3．……………………………………………………8分

（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，……………9分

所以当时，．………………………10分

即．

整理，得

．……………………………11分

因为， 所以．…………………12分

即．

即．…………………………………13分

所以

．…………………………………………………14分

证明2：构造函数

，………………………………9分

则．……………………………10分

因为，所以．

所以函数在上单调递增．………………………11分

因为， 所以．

所以

．…12分

即．

即．

即．…………………………………………13分

所以．……………………………………………14

 

【解析】略