Question

给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）设l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（Ⅱ）设|FA|=2|BF|，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设A，B两点坐标，联立中心与抛物线组成方程组，求得AB的中点坐标，求出AB的长，然后求以AB为直径的圆的方程；还可以转化为焦半径公式解答本题．
（Ⅱ）设出A、B坐标，利用|FA|=2|BF|，转化为向量共线关系，以及A、B在直线和抛物线上，求出A、B坐标然后求直线l的方程，也可以转化为直线与抛物线由交点，利用韦达定理，向量共线关系，求出直线的斜率，和一个点的坐标即可求直线方程．
解答：解：方法一：（Ⅰ）由题意，得F（1，0），直线l的方程为y=x-1．
由，得x²-6x+1=0，
设A，B两点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M的坐标为M（x，y），
则，
故点（3分）
所以，
故圆心为M（3，2），直径，
所以以AB为直径的圆的方程为（x-3）²+（y-2）²=16；（6分）
（Ⅱ）因为|FA|=2|BF|，三点A，F，B共线且点A，B在点F两侧，
所以，
设A，B两点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，
所以
因为点A，B在抛物线C上，
所以y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，（10分）
由，解得
所以，（13分）
故直线l的方程为，或．（14分）
方法二：（Ⅰ）由题意，得F（1，0），直线l的方程为y=x-1．
由，得x²-6x+1=0，
设A，B两点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M的坐标为M（x，y），
因为△=6²-4=32＞0，所以x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
所以，故圆心为M（3，2），（3分）
由抛物线定义，得，
所以|AB|=x₁+x₂+p=8（其中p=2）．
所以以AB为直径的圆的方程为（x-3）²+（y-2）²=16；（6分）
（Ⅱ）因为|FA|=2|BF|，三点A，F，B共线且点A，B在点F两侧，
所以，
设A，B两点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，
所以…①（（9分））
设直线AB的方程为y=k（x-1）或x=1（不符合题意，舍去）．
由，消去x得ky²-4y-4k=0，
因为直线l与C相交于A，B两点，所以k≠0，
则△=16+16k²＞0，，…②
由①②，得方程组，解得或（13分）
故直线l的方程为，或．（14分）
点评：本题考查圆的方程，直线和圆的方程的应用，考查转化思想，函数与方程的思想，是中档题．