Question

已知函数f（x）=lnx
（Ⅰ）若函数f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角均不小于，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设m=2，若存在x∈[1，2]，不等式|a+3x|-xf′（x）＜0成立，求实数a的取值范围；
（III）已知k∈R，讨论关于x的方程f（x）+mx=在区间[2，4]上的实根个数（e≈2.71828）

Answer 1

【答案】分析：（I）先求导函数，然后将函数f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角均不小于转化成f′（x）≥tan=在（0，+∞）上恒成立，利用参数分离法可求出m的取值范围；
（II）根据绝对值不等式的性质化简不等式，然后利用参数分离法将a分离，最后利用存在性问题的常用方法进行求解即可；
（III）将k分离，然后利用导数研究函数的单调性，得到函数的最值，利用数形结合法可求出根的个数．
解答：解：（I）∵f（x）=lnx（x＞0）
∴f′（x）=+3x-m
∵函数f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角均不小于，
∴f′（x）=+3x-m≥tan=在（0，+∞）上恒成立
即m≤+3x-在（0，+∞）上恒成立，而+3x-在（0，+∞）上的最小值为
∴m≤
（II）当m=2时，f′（x）=+3x-2
不等式|a+3x|-xf′（x）＜0即为不等式|a+3x|-x（+3x-2）＜0
化简得不等式|a+3x|＜3x²-2x+1
即-3x²+2x-1＜a+3x＜3x²-2x+1
∴存在x∈[1，2]，使得不等式-3x²-x-1＜a＜3x²-5x+1成立
即（-3x²-x-1）_min＜a＜（3x²-5x+1）_max
即-15＜a＜3
（III）∵f（x）+mx=
∴lnx+=
即k=lnx+x²-x
令g（x）=lnx+x²-x（x∈[2，4]）
则g′（x）=+x-==
当x∈[2，3）时，g′（x）＜0，当x∈（3，4]时，g′（x）＞0
∴函数g（x）在[2，3）上单调递减，在（3，4）上单调递增
则当x=3时函数g（x）取最小值g（3）=ln3-，而g（2）=ln2-2，g（4）=ln4-
∴当k＜ln3-或k＞ln4-时方程f（x）+mx=在区间[2，4]上的实根个数为0
当k=ln3-或ln2-2＜k＜ln4-时方程f（x）+mx=在区间[2，4]上的实根个数为1
当ln3-＜k≤ln2-2时方程f（x）+mx=在区间[2，4]上的实根个数为2
点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及参数分离法研究恒成立和存在性问题，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．