Question

（（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在其定义域内为增函数，求的取值范围；
（Ⅲ）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅲ）∵在上是减函数，
∴时，； 时，，即， ……6分
设
①当＜0时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以，故在内是减函数． 
当时，，因为，所以＜0，＜0，
此时，在内是减函数．   
故当时，在上单调递减，不合题意；
……………………8分
②当0＜＜时，由，
所以．
又由（Ⅱ）知当，函数在上是增函数，
∴＜1，
不合题意；    ………10分
③当时，由（Ⅱ）知在上是增函数，，
又在上是减函数，
故只需，，
而，，
即 ， 解得，
所以实数的取值范围是．               ……………………12分

解析