题目内容
【题目】如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，
，
，且
，A为BE的中点
将
沿AD折到
位置
如图
，连结PC，PB构成一个四棱锥
．
Ⅰ
求证
；
Ⅱ若
平面ABCD．
求二面角
的大小；
在棱PC上存在点M，满足
，使得直线AM与平面PBC所成的角为
，求
的值．
【答案】
Ⅰ
详见解析；Ⅱ①
，②
或
．
【解析】
Ⅰ可以通过已知证明出
平面PAB，这样就可以证明出
；
Ⅱ
以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面PBC的法向量为
、平面PCD的法向量
，利用空间向量的数量积，求出二面角
的大小；
求出平面PBC的法向量，利用线面角的公式求出
的值.
证明：Ⅰ在图1中，
，
，
为平行四边形，
，
，
，
当
沿AD折起时，
，
，即，
，
又
，
平面PAB，
又
平面PAB，
．
解：Ⅱ
以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由于
平面ABCD
则
0，
，
0，，
1，，
0，
，
1，
1，
，
1，，
0，，
设平面PBC的法向量为
y，
，
则
，取
，得
0，，
设平面PCD的法向量
b，
，
则
，取
，得
1，，
设二面角的大小为
，可知为钝角，
则
，
．
二面角的大小为．
设AM与面PBC所成角为
，
0，
，1，
，，
，
平面PBC的法向量0，，
直线AM与平面PBC所成的角为
，
，
解得或．
【题目】由中央电视台综合频道（
）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青春电视公开课。每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了
、
两个地区的100名观众，得到如下的
列联表：
非常满意 | 满意 | 合计 | |
| 30 |
| |
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|
| |
合计 |
已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为
，且
.
（Ⅰ）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“满意”的、地区的人数各是多少；
（Ⅱ）完成上述表格，并根据表格判断是否有
的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系；
（Ⅲ）若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为
，求的分布列和期望.
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附：参考公式：
