Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆C的方程，利用长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点M，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；
（2）分类讨论，利用数量积公式，结合直线与圆相切，即可得到结论．
解答：（1）解：设椭圆C的方程为（a＞b＞0）
∵长轴长是短轴长的倍，
∴椭圆方程为
∵在椭圆C上
∴
∴b²=4
∴椭圆C的方程为；
（2）证明：当切线l的斜率不存在时切线方程为
与椭圆的两个交点为（）或（-）
此时；
当切线l斜率存在时，可设l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
则△=8k²-m²+4＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=
∵l与圆相切
∴
∴3m²=8k²+8
∴
综上所述为定值．
点评：本题考查椭圆的方程，考查数量积公式，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．