题目内容

△ABC满足
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点，S△MBC=
1
2
，S△MCA=x，S△MAB=y，则
1
x
+
4
y
的最小值为
 
．
分析：根据题意求得|AC|•|AB|进而利用三角形面积公式求得△ABC的面积，然后根据S△MBC推断M在三角形中位线上，进而求得S△MCA+S△MAB的值，即x+y的值，代入
1
x
+
4
y
中整理成基本不等式的形式，求得其最小值．
解答：解：∵
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°
∴|AC|•|AB|=4，
又S△ABC=
1
2
•AC•AB•sin∠BAC=1  S△MBC=
1
2

∴M在三角形中位线上
S△MCA+S△MAB=x+y=
1
2
，即1=2（x+y） 
∴
1
x
+
4
y
=
2(x+y)
x
+
8(x+y)
y
=10+
2y
x
+
8x
y
≥10+2
2y
x
•
8x
y
=18
故答案为18．
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题的关键是拼凑出基本不等式的形式．
练习册系列答案
相关题目
△ABC满足
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点（不在边界上），定义f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（x，y，
1
2
），则
1
x
+
4
y
的最小值为（　　）
A、9B、8C、18D、16
对于△ABC内的任何一点M，为了确定M的具体位置f（M），采用如下记法：f（M）=（x，y，z），x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，现有△ABC满足
AB
•
AC
=2
3
且∠A=30°，设M是△ABC内的一点（不在边界上），当f(M)=(x，y，
1
2
)，那么
1
x
+
4
y
的最小值为
18
18
．
如图（一）等腰三角形ABC满足AB=AC=10，BC=12，D、E、F为AB、BC、AC的中点，现将△ADF、△BDE、△CEF分别沿DF、DE、EF折起使得A、B、C重合为一点P，形成一个三棱锥P-DEF如图（二），则三棱锥P-DEF的体积为（　　）
△ABC满足
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点（不在边界上），定义f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（x，y，
1
2
），则xy的最大值为（　　）
平面直角坐标系中，△ABC满足
AB
=(-
3
sinθ，sinθ)，
AC
=(cosθ，sinθ)，
（Ⅰ）若BC边长等于1，求θ的值（只需写出（0，2π）内的θ值）；
（Ⅱ）若θ恰好等于内角A，求此时内角A的大小．

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