Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（cosC，sinC），且

m

•

n

=sin2B．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积是

3 3

4

，且a+c=5，求b．

Answer 1

分析：（1）由数量积的坐标公式，结合两角和的正弦公式和二倍角正弦公式列式并化简，得sin（A+C）=2sinBcosB，再由sin（A+C）=sinB在等式两边约去sinB可得cosB=

1

2

，结合三角形内角取值范围，可得角B的大小；
（2）根据正弦定理的面积公式，结合题中的数据算出ac=3，再配方得到a²+c²=19，最后利用余弦定理算出b²的值，即可得边b的值．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=sinAcosC+cosAsinC=sin2B，且sin2B=2sinBcosB
∴sin（A+C）=2sinBcosB，即sin（π-B）=2sinBcosB，
∵sin（π-B）=sinB，且sinB是正数，∴cosB=

1

2

，
∵B∈（0，π），∴B=

π

3

（2）由正弦定理，得S_△ABC=

1

2

acsinB=

3 3

4

∵B=

π

3

，得sinB=

3

2

，∴ac=3
又∵a+c=5，∴a²+c²=（a+c）²-2ac=25-6=19
根据余弦定理，得：
b²=a²+c²-2accosB=19-2×3×

1

2

=16
∴b=4（舍负）

点评：本题以平面向量的数量运算为载体，考查了用正余弦定理解三角形、两角和的正弦公式和二倍角的正弦公式等知识，属于中档题．