Question

证明函数f（x）=

3

x+1

在[3，5]上单调递减，并求函数在[3，5]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：利用函数的单调性的定义证明函数f（x）=

3

x+1

在[3，5]上单调递减，并利用函数的单调性求得函数在[3，5]的最大值和最小值．

解答：解：证明：设3≤x₁＜x₂≤5，∵f（x₁）-f（x₂）=

3

x1+1

-

3

x2+1

=

3(x2+1)-3(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

，
x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

＞0，即  f（x₁）＞f（x₂），故函数函数f（x）=

3

x+1

在[3，5]上单调递减．
故当x=3时，函数取得最大值为

3

4

，当x=5时，函数取得最小值为

1

2

．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题．