Question

已知函数f（x）的图象可由函数g(x)=

4x+m2

2x

(m为非零常数)的图象向右平移两个单位而得到．
（1）写出函数f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）的图象关于直线y=x对称；
（3）问：是否存在集合M，当x∈M时，函数f（x）的最大值为2+m²，最小值为2-

m2

9

；若存在，试求出一个集合M；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用左加右减的平移规律，可得结论；
（2）证明函数f（x）的反函数是本身，即可得到结论；
（3）函数f（x）的最大值为2+m²，最小值为2-

m2

9

，转化为y=

m2

2(x-2)

的最大值为m²，最小值为-

m2

9

，从而可得不等式，解不等式，即可得到结论．

解答：（1）解：∵函数f（x）的图象可由函数g(x)=

4x+m2

2x

(m为非零常数)的图象向右平移两个单位而得到，
∴f（x）=

4(x-2)+m2

2(x-2)

；
（2）证明：令y=

4(x-2)+m2

2(x-2)

，则y-2=

m2

2(x-2)

∴2(x-2)=

m2

y-2

∴x=

4(y-2)+m2

2(y-2)

∴f-1(x)=

4(x-2)+m2

2(x-2)

∴函数f（x）的图象关于直线y=x对称；
（3）解：f（x）=

4(x-2)+m2

2(x-2)

=2+

m2

2(x-2)

∵函数f（x）的最大值为2+m²，最小值为2-

m2

9

∴y=

m2

2(x-2)

的最大值为m²，最小值为-

m2

9

∴-

m2

9

≤

m2

2(x-2)

≤m2
∴x≤-

5

4

或

3

4

≤x＜2或x＞2，
∴存在集合M={x|x≤-

5

4

或

3

4

≤x＜2或x＞2}，当x∈M时，函数f（x）的最大值为2+m²，最小值为2-

m2

9

．

点评：本题考查函数图象的平移，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．