Question

数列的首项为（），前项和为，且（）．

设，（）．

（1）求数列的通项公式；

（2）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围；

（3）当时，试求三个正数，，的一组值，使得为等比数列，且，，

成等差数列．

Answer 1

（1）因为  ①

当时，  ②，

①—②得，（），

又由，得，

所以，是首项为，公比为的等比数列，所以（）．

（2）当时，，，， 

由，得，  （*）

当时，时，（*）不成立；

当时，（*）等价于  （**）

时，（**）成立．

时，有，即恒成立，所以．

时，有，．时，有，．

综上，的取值范围是．  

（3）当时，，，

，

所以，当时，数列是等比数列，所以   

又因为，，成等差数列，所以，即，

解得．   从而，，．   

所以，当，，时，数列为等比数列．