Question

【题目】已知数列的通项公式为.求所有的正整数，使得数列的前项能分成两部分，这两部分的和相等.

Answer 1

【答案】

【解析】

易知，为等差数列，且.

要使数列前项能分为和相等的两部分，则能被2整除.

所以，或.

（1）. 则.

由，知从这组数中抽出组作为一部分，其余的为另一部分，可使这两部分的和相等.

（2）. 则.

设第一部分有项，第二部分有项，两部分的和分别为、.

若，则，.

所以，即为3的倍数.

又为奇数，故为奇数.

设. 则，.

又 ，

，

，

从而，应满足

.

当，且时，.

因为，将第1项和第50项交换，所以，两部分的和相等，即将第2项至第50项分为一部分，其余的分为另一部分，则两部分的和相等.

当，且时，可将表示为.

于是，前95项按照划分，后项按照（1）的方法划分. 这样的两部分的和相等.

综上，.