Question

已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1．直线l：y=2x+2被圆M所截得的弦长为

4 5

5

，且圆心M在直线l的下方．
（1）求圆M的方程；
（2）设A（t，0），B（t+5，0）（-4≤t≤-1），若AC，BC是圆M的切线，求△ABC面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）设圆心M（0，b），利用M到l：y=2x+2的距离，结合直线l被圆M所截得的弦长为

4 5

5

，求出M坐标，然后求圆M的方程；
（2）当直线AC，BC的斜率都存在时，求出设AC斜率，BC斜率为k₂，推出直线AC、直线BC的方程，求出△ABC的面积S的表达式，从而求出面积的最小值，再考虑斜率不存在时的情形，从而得解．

解答：解：（1）设M（0，b）由题设知，M到直线l的距离是

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

…（2分）
所以

|-b+2|

5

=

5

5

，解得b=1或b=3…（4分）
因为圆心M在直线l的下方，所以b=1，
即所求圆M的方程为x²+（y-1）²=1…（6分）
（2）当直线AC，BC的斜率都存在，即-4＜t＜-1时
直线AC的斜率k_AC=tan2∠MAO=

- 2 t

1- 1 t2

=

-2t

t2-1

，
同理直线BC的斜率k_BC=

-2(t+5)

(t+5)2-1

…（8分）
所以直线AC的方程为y=

-2t

t2-1

（x-t），
直线BC的方程为y=

-2(t+5)

(t+5)2-1

（x-t-5）…（10分）
解方程组

y= -2t t2-1 (x-t) y= -2(t+5) (t+5)2-1 (x-t-5)

得x=

2t+5

t2+5t+1

，y=

2t2+10t

t2+5t+1

…（12分）
所以y=

2t2+10t

t2+5t+1

=2-

2

t2+5t+1

因为-4≤t≤-1
所以-

21

4

≤t²+5t+1＜-3
所以

50

21

≤y＜

8

3

．
故当t=-

5

2

时，△ABC的面积取最小值

1

2

×5×

50

21

=

125

21

．…（14分）
当直线AC，BC的斜率有一个不存在时，即t=-4或t=-1时，易求得△ABC的面积为

20

3

．
综上，当t=-

5

2

时，△ABC的面积的最小值为

125

21

．…（16分）

点评：本题以圆的弦长为载体，考查直线与圆的位置关系，三角形面积的最值的求法，考查计算能力．