Question

15．已知x满足a^2x+a⁶≤a^x+2+a^x+4（0＜a＜1），函数y=log_a（$\frac{1}{{a}^{2}x}$）•log${\;}_{\frac{1}{{a}^{2}}}$（ax）的值域为[-$\frac{1}{8}$，0]，求a的值．

Answer 1

分析 先由x满足的条件求出x的范围为[2，4]，这个区间便是原函数的定义域，可将原函数变成$y=\frac{1}{2}（lo{g}_{a}x+\frac{3}{2}）^{2}-\frac{1}{8}$，设y=f（x）．从而由f（x）的值域即知f（x）在端点的值为0，从而有f（2）=0，或f（4）=0，这样便可求出a，并通过$lo{g}_{a}x=-\frac{3}{2}$求出x，看x能否在区间[2，4]内，这样便可得出a的值．

解答 解：由a^2x+a⁶≤a^x+2+a^x+4，0＜a＜1，得：
（a^x）²-（a²+a⁴）a^x+a⁶≤0；
∴a⁴≤a^x≤a²；
∴2≤x≤4；
y=$lo{g}_{a}（\frac{1}{{a}^{2}x}）•lo{g}_{\frac{1}{{a}^{2}}}（ax）$=$（0-2-lo{g}_{a}x）•\frac{1+lo{g}_{a}x}{-2}$=$\frac{1}{2}（lo{{g}^{2}}_{a}x+3lo{g}_{a}x+2）$=$\frac{1}{2}（lo{g}_{a}x+\frac{3}{2}）^{2}-\frac{1}{8}$；
∵2≤x≤4，0＜a＜1；
又原函数的值域为$[-\frac{1}{8}，0]$；
设y=f（x），则：f（4）=$\frac{1}{2}（lo{g}_{a}4+\frac{3}{2}）^{2}-\frac{1}{8}=0$，或f（2）$\frac{1}{2}（lo{g}_{a}2+\frac{3}{2}）^{2}-\frac{1}{8}$=0；
解得a=$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，或$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
经验证a=$\frac{1}{2}$符合题意．

点评 考查指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，配方法的运用，以及二次函数值域的端点和定义域端点的关系，不要忘了验证a是否满足条件．