题目内容

某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为
1
2
，乌克兰队赢的概率为
1
3
，且每局比赛输赢互不影响．若中国队第n局的得分记为an，令Sn=a1+a2+…+an．
（1）求S3=4的概率；
（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行．设随机变量ξ表示此次比赛共进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．
分析：（1）S3=4，即前3局中国队1胜2平或2胜1负，而每局中中国队赢的概率为
1
2
，平的概率为
1
6
，输的概率为
1
3
，且每局比赛输赢互不影响，故可利用独立重复试验求解．
（2）ξ的可能取值为2，3，4，ξ=2表示两局都是中国队赢或都是乌克兰队赢；ξ=3可分中国队赢时，中国队三局中的得分情况分别为022，202，112，121，122，211，和212，乌克兰队赢时，乌克兰队得分情况同上边的情况，分别求概率取和；ξ=4时，可利用分布列的性质求解，P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）
解答：解：（1）S3=4，即前3局中国队1胜2平或2胜1负．
中国队赢的概率为
1
2
，平的概率为
1
6
，输的概率为
1
3
．
得S3=4的概率为
C
2
3
(
1
6
)2(
1
2
)+
C
2
3
×(
1
2
)2×
1
3
=
1
24
+
1
4
=
7
24

（2）ξ的可能取值为2，3，4，
P(ξ=2)=(
1
2
)2+(
1
3
)2=
13
36
，
P(ξ=3)=
C
1
2
(
1
2
)(
1
3
)(
1
2
)+
C
1
2
(
1
2
)(
1
6
)(
1
2
)+
C
1
3
(
1
6
)2
1
2
+
C
1
2
(
1
3
)(
1
2
)(
1
3
)+
C
1
2
(
1
3
)(
1
6
)(
1
3
)+
C
1
3
(
1
6
)2
1
3
=
101
216

P(ξ=4)=(
1
6
)4+(
1
6
)3(
1
2
)+(
1
6
)3(
1
3
)+
A
3
3
(
1
6
)(
1
2
)(
1
3
)(
1
6
)+
A
3
3
(
1
6
)(
1
2
)(
1
3
)(
1
2
)+
A
3
3
(
1
6
)(
1
3
)(
1
2
)(
1
3
)=
37
216

或P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)=
37
216

ξ的分布列为：
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∴E(ξ)=2×
13
36
+3×
101
216
+4×
37
216
=
607
216
．（12分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列、分布列的性质、期望、独立重复试验的概率等知识，以及利用概率知识分析问题、解决问题的能力．
练习册系列答案
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（理） 某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为
1
2
，乌克兰队赢的概率为
1
3
，且每局比赛输赢互不影响．若中国队第n局的得分记为an，令Sn=a1+a2+…+an．
（1）求S3=4的概率；
（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行．设随机变量ξ表示此次比赛共进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．
（文） 某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为
1
2
，乌克兰队赢的概率为
1
3
，且每局比赛输赢互不影响．若中国队第n局的得分记为an，令Sn=a1+a2+…+an．
（1）求S3=4的概率；
（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行．求比赛进行三局就结束比赛的概率．

（本小题满分12分）

某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为，乌克兰队赢的概率为，且每局比赛输赢互不影响.若中国队第n局的得分记为，令.

（1）求的概率；

（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行.设随机变量表示此次比赛共进行的局数，求的分布列及数学期望.
某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为，乌克兰队赢的概率为，且每局比赛输赢互不影响。若中国队第n局的得分记为an，令Sn=a1+a2+…+an。
（1）求S3=4的概率；
（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行。设随机变量ξ表示此次比赛共进行的局数，求ξ的分布列及数学期望。
某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为，乌克兰队赢的概率为，且每局比赛输赢互不影响．若中国队第n局的得分记为an，令Sn=a1+a2+…+an．
（1）求S3=4的概率；
（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行．设随机变量ξ表示此次比赛共进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．

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