题目内容
已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是| π | 2 |
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．
分析：（1）先用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简，进而根据函数的最小正周期求得ω．
（2）根据正弦函数的性质可知4x+
=
+2kπ时，函数取最大值2+
，进而求得x的集合．
（2）根据正弦函数的性质可知4x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 2 |
解答：解：（Ⅰ）解：f(x)=2•
+sin2ωx+1
=sin2ωx+cos2ωx+2
=
(sin2ωxcos
+cos2ωxsin
)+2
=
sin(2ωx+
)+2
由题设，函数f（x）的最小正周期是
，可得
=
，所以ω=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=
sin(4x+
)+2．
当4x+
=
+2kπ，即x=
+
(k∈Z)时，sin(4x+
)取得最大值1，
所以函数f（x）的最大值是2+
，此时x的集合为{x|x=
+
，k∈Z}．
| 1+cos2ωx |
| 2 |
=sin2ωx+cos2ωx+2
=
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
=
| 2 |
| π |
| 4 |
由题设，函数f（x）的最小正周期是
| π |
| 2 |
| 2π |
| 2ω |
| π |
| 2 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=
| 2 |
| π |
| 4 |
当4x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 16 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 4 |
所以函数f（x）的最大值是2+
| 2 |
| π |
| 16 |
| kπ |
| 2 |
点评：本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数y=Asin（ωx+φ）的性质等基础知识，考查基本运算能力．
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