Question

已知三边都不相等的三角形ABC的三内角A、B、C满足sinAcosB+sinB=sinAcosC+sinC，设复数z1=cosθ+isinθ(0＜θ＜π且θ≠

π

2

)、z2=

2

(cosA+isinA)，求arg(z1

.

z2

)的值．

Answer 1

分析：将已知的等式变形化简，求出角A的大小，计算2个复数的积，并化为三角形式，由辐角求辐角主值，注意辐角主值的范围．

解答：解：∵sinAcosB+sinB=sinAcosC+sinC
∴sinA（cosB-cosC）=sinC-sinB
得4sin

A

2

cos

A

2

(-sin

B+C

2

×sin

B-C

2

)=-2sin

B-C

2

cos

B+C

2

（3分）
∵

B+C

2

=

π

2

-

A

2

，∴cos

B+C

2

=sin

A

2

，sin

B+C

2

=cos

A

2

，又

B-C

2

≠0，
∴sin

A

2

≠0，sin

B-C

2

≠0.上式化简为cos2

A

2

=

1

2

∴A=

π

2

（6分）
z1

.

z2

=

2

[cos(θ-

π

2

)+isin(θ-

π

2

)]（9分）
∴当0＜θ＜

π

2

时，arg(z1

.

z2

)=

3π

2

+θ
当

π

2

＜θ＜π时，arg(z1

.

z2

)=θ-

π

2

．（12分）

点评：本题考查三角变换、复数的概念和运算．