Question

已知函数f(x)=xlnx-

a

2

x2，a∈R
（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）单调递减，求a的最小值；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=lnx+1-ax．
f（x）在（0，+∞）单调递减当且仅当f′（x）≤0，即?x∈（0，+∞），a≥

lnx+1

x

．①
设g（x）=

lnx+1

x

，则g′（x）=-

lnx

x2

．
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
所以g（x）≤g（1）=1，故a的最小值为1．…（5分）
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，当a≥1时，f（x）没有极值点．
②当a≤0时，f′（x）单调递增，f′（x）至多有一个零点，f（x）不可能有两个极值点．…（7分）
③当0＜a＜1时，设h（x）=lnx+1-ax，则h′（x）=

1

x

-a．
当x∈（0，

1

a

）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈（

1

a

，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．…（9分）
因为f′（

1

a

）=h（

1

a

）=ln

1

a

＞0，f′（

1

e

）=h（

1

e

）=-

a

e

＜0，
所以f（x）在区间（

1

e

，

1

a

）有一极小值点x₁．…（10分）
由（Ⅰ）中的①式，有1≥

lnx+1

x

，即lnx≤x-1，则ln

1

a

≤

1

a

-1，
故f′（

2

a2

）=h（

2

a2

）=ln2+2ln

1

a

+1-

2

a

≤ln2+2（

1

a

-1）+1-

2

a

=ln2-1＜0．
所以f（x）在区间（

1

a

，

2

a2

）有一极大值点x₂．
综上所述，a的取值范围是（0，1）．…（12分）