Question

（2008•奉贤区一模）我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y=f（x）（x∈D），对任意x，y，

x+y

2

∈D均满足f(

x+y

2

)≥

1

2

[f(x)+f(y)]，当且仅当x=y时等号成立．
（1）若定义在（0，+∞）上的函数f（x）∈M，试比较f（3）+f（5）与2f（4）大小．
（2）设函数g（x）=-x²，求证：g（x）∈M．
（3）已知函数f（x）=log₂x∈M．试利用此结论解决下列问题：若实数m、n满足2^m+2ⁿ=1，求m+n的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据对任意x，y，

x+y

2

∈D均满足f(

x+y

2

)≥

1

2

[f(x)+f(y)]可得

f(3)+f(5)

2

≤f(

3+5

2

)，化简可得结论；
（2）任取x，y∈R，然后计算g(

x+y

2

)-

1

2

[g(x)+g(y)]的符号，从而判定是否满足定义；
（3）设x=2^m，y=2ⁿ，则m=log₂x，n=log₂y，且m+n=1，而函数f（x）=log₂x满足f(

x+y

2

)≥

1

2

[f(x)+f(y)]建立关系式可求出m+n的最大值．

解答：解：（1）

f(3)+f(5)

2

≤f(

3+5

2

)，即f（3）+f（5）≤2f（4）
但3≠5，所以f（3）+f（5）＜2f（4）
（若答案写成f（3）+f（5）≤2f（4），扣一分）                          （4分）
（2）任取x，y∈R，则g(

x+y

2

)=-(

x+y

2

)2，

1

2

[g(x)+g(y)]=-

x2+y2

2

，（6分）
所以g(

x+y

2

)-

1

2

[g(x)+g(y)]=-

(x+y)2

4

+

x2+y2

2

=

x2+y2-2xy

4

≥0，
当且仅当x=y时等号成立，则g（x）∈M．（10分）
（3）设x=2^m，y=2ⁿ，则m=log₂x，n=log₂y．
由已知：函数f（x）=log₂x满足f(

x+y

2

)≥

1

2

[f(x)+f(y)]
得log2

x+y

2

≥

1

2

[log2x+log2y]，即log2

1

2

≥

1

2

(m+n)，则m+n≤-2（14分）
当且仅当x=y，即2m=2n=

1

2

，即m=n=-1时，m+n有最大值为-2．（16分）

点评：本题主要考查了抽象函数的性质，以及基本不等式研究函数的最值，属于中档题．