Question

（2009•黄浦区二模）已知点P（0，b）是y轴上的动点，点F（1，0）、M（a，0）满足PM⊥PF，动点N满足2

PN

+

NM

=

0

．
（1）求动点N所在曲线C的方程．
（2）若曲线C上的两点A、B满足OA⊥OB（O为坐标原点，A、B不同于O点），试证明直线AB必过定点，并求出这个定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）设动点N（x，y）．依据题意，有

PN

=(x，y-b)，

PM

=(a，-b)，

PF

=(1，-b)，

NM

=(a-x，-y)．由PM⊥PF，2

PN

+

NM

=

0

，知

PM • PF =0 2 PN =- NM

，由此能求出曲线C的方程．
（2）因A、B是曲线C：y²=4x（x≥0）上不同于原点的两点，设A(

y 2 1

4

，y1)、B(

y 2 2

4

，y2)(

y

1

≠y2，y1y2≠0)，
则

OA

=(

y 2 1

4

，y1)、

OB

=(

y 2 2

4

，y2)，

AB

=(

y 2 2

4

-

y 2 1

4

，

y

2

-y1)．由OA⊥OB，知y₁y₂=-16．由直线AB的法向量为

n

=(

y

1

-y2，

y 2 2

4

-

y 2 1

4

)，得直线AB的方程：(y1-y2)•(x-

y_2

4

)+(

y 2 2

4

-

y 2 1

4

)(y-y1)=0，由此能够证明直线AB：x-

y1+y2

4

y-4=0恒过定点，且定点坐标为（4，0）．

解答：解：（1）设动点N（x，y）．　　　　　　　　　　　　　　（1分）
依据题意，有

PN

=(x，y-b)，

PM

=(a，-b)，

PF

=(1，-b)，

NM

=(a-x，-y)．（3分）
又PM⊥PF，2

PN

+

NM

=

0

，
则

PM • PF =0 2 PN =- NM

，
进一步有

a+b2=0 x=-a y=2b

．
因此，y²=4x（x≥0）．　 （7分）
所以曲线C的方程是y²=4x（x≥0）．　　　　　　　　　　　　　　　（8分）
（2）证明：因A、B是曲线C：y²=4x（x≥0）上不同于原点的两点，
可设A(

y 2 1

4

，y1)、B(

y 2 2

4

，y2)(

y

1

≠y2，y1y2≠0)，
则

OA

=(

y 2 1

4

，y1)、

OB

=(

y 2 2

4

，y2)，

AB

=(

y 2 2

4

-

y 2 1

4

，

y

2

-y1)．　（11分）
又OA⊥OB，
故

OA

•

OB

=0，即

y 2 1 y 2 2

16

+y1y2=0．
所以y₁y₂=-16．　　　（14分）
由直线AB的法向量为

n

=(

y

1

-y2，

y 2 2

4

-

y 2 1

4

)，
可得直线AB的方程：(y1-y2)•(x-

y_2

4

)+(

y 2 2

4

-

y 2 1

4

)(y-y1)=0，
进一步化简为x-

y1+y2

4

y-4=0．（16分）
所以直线AB：x-

y1+y2

4

y-4=0恒过定点，
且定点坐标为（4，0）．      （18分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．