题目内容
4．某单位举办抽奖活动，已知抽奖盒中装有“天府卡”和“熊猫卡”共10张．其中．天府卡”比“熊猫卡”数量多．抽奖规则是：参与者随机从盒中同时抽取两张卡片就完成一次抽奖，抽后放回．若抽到两张“熊猫卡，即可获奖，否则不获奖．已知一次抽奖中，抽到“天府卡”和“熊猫卡”各一张的概率是$\frac{7}{15}$．（Ⅰ）求某人抽奖一次就中奖的概率；
（Ⅱ）现有3个人各抽奖一次，用X表示获奖的人数，求X的分布列及数学期望．
分析 根据得出天府卡”有7张，
（I）P（A）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$运用排列组合知识求解．
（II）根据题意X～B（3，$\frac{1}{15}$）X的分布列为P（X=i）=${c}_{3}^{i}$（$\frac{1}{15}$）i（$\frac{14}{15}$）3-i，i=0，1，2，3，求解得出分布列，数学期望．
解答 解：设10张卡片中，“天府卡”有n张，则“熊猫卡”有10-n张，n＞10-n，
即n＞5，n∈N
由已知得出$\frac{{{C}_{n}^{1}c}_{10-n}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{15}$，
解得n=7
（I）记“某人参与一次抽奖活动获奖”为事件A，
∴P（A）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
∴某人参与一次抽奖活动获奖的概率为$\frac{1}{15}$
（II）根据题意X～B（3，$\frac{1}{15}$）
∴X的分布列为P（X=i）=${c}_{3}^{i}$（$\frac{1}{15}$）i（$\frac{14}{15}$）3-i，i=0，1，2，3
或
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{2744}{3375}$ | $\frac{196}{1125}$ | $\frac{14}{1125}$ | $\frac{1}{3375}$ |
点评 本题考查离散型随机变量的分布列，解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．
练习册系列答案
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13．已知（1+x）n（n∈N*）的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数为（ ）
| A． | 36 | B． | 45 | C． | 55 | D． | 120 |