Question

已知复数z满足|z|=

2

，z²的虚部为2．
（I）求z；
（II）设z，z²，z-z²在复平面对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）设出复数的代数形式的式子，根据所给的模长和z²的虚部为2．得到关于复数实部和虚部的方程组，解方程组，得到要求的复数．
（2）写出所给的三个复数的表示式，根据代数形式的表示式写出复数对应的点的坐标，即得到三角形的三个顶点的坐标，求出三角形的面积，注意三个点的坐标有两种结果，不要漏解．

解答：解：（I）设Z=x+yi（x，y∈R）
由题意得Z²=（x-y）²=x²-y²+2xyi
∴

x2+y2 = 2 (1) 2xy=1(2)

故（x-y）²=0，∴x=y将其代入（2）得2x²=2∴x=±1
故

x=1 y=1

或

x=-1 y=-1

故Z=1+i或Z=-1-i；
（II）当Z=1+i时，Z²=2i，Z-Z²=1-i
所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1）
∴|AC|=2，S△ABC=

1

2

×1×2=1
当Z=-1-i时，Z²=2i，Z-Z²=-1-3i，A（-1，-1），B（0，2），C（-1，3）
S△ABC=

1

2

×1×4=2．

点评：本题是对复数两种形式和复数的模长的考查，要对复数的两种形式变换自如，这种题目一般不会出成解答题，而是以选择和填空形式出现．