题目内容

已知函数f（x）=m•2^x+2•3^x，m∈R．
（1）当m=-9时，求满足f（x+1）＞f（x）的实数x的范围；
（2）若 $数学公式$ 对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围；
（3）若存在m使f（x）≤a^x对任意的x∈R恒成立，其中a为大于1的正整数，求a的最小值．

解：（1）当m=-9时，f（x）=-9•2^x+2•3^x，
∵f（x+1）＞f（x）
∴-9•2^x+1+2•3^x+1＞-9•2^x+2•3^x，
即4•3^x＞9•2^x，即 $\text{[math]}$
∴x＞2；
（2）∵ $\text{[math]}$ 对任意的x∈R恒成立，
∴m•2^x+2•3^x $\text{[math]}$ 对任意的x∈R恒成立，
不等式两边同时除以2^x得 $\text{[math]}$ ≥2× $\text{[math]}$ +m
令t= $\text{[math]}$ ＞0，则t²-2t-m≥0即m≤t²-2t=（t-1）²-1对于任意正实数t恒成立
∴m≤-1；
（3）由（2）知，存在m∈（-∞，-1]使f（x）≤（ $\text{[math]}$ ）^x对任意的x∈R恒成立，
欲使f（x）≤a^x对任意的x∈R恒成立，只需a≥ $\text{[math]}$ ，
∵a∈N+，∴a的最小值为5．
分析：（1）将m=-9代入解析式，然后化简不等式f（x+1）＞f（x），最后利用指数函数的单调性即可求出所求；
（2）将m参变量分离，然后利用换元法转化成求二次函数的最值，从而可求出m的取值范围；
（3）由（2）知，存在m∈（-∞，-1]使f（x）≤（ $\text{[math]}$ ）^x对任意的x∈R恒成立，欲使f（x）≤a^x对任意的x∈R恒成立，只需a≥ $\text{[math]}$ ，从而可求出a的最小值．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及指数函数的综合应用，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．