Question

已知四棱锥P―ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1。

   （I）证明：面PAD⊥面PCD；

   （II）求AC与PB所成角的余弦值；

   （III）求面PAB与面PBC所成的二面角的大小。

            

Answer 1

（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂线定理，得CD⊥PD，

∵CD⊥AD，CD⊥PD，且PD∩AD=D，

∴CD⊥平面PAD，

∵CD平面PCD，

∴面PAD⊥面PCD。

   （II）解：过点B作BE//CA，且BE=CA，连结AE。

            

    则∠PBE是AC与PB所成的角，

    可求得AC=CB=BE=EA=。

    又AB=2，所以四边形ACBE为正方形，∴BE⊥AE，

∵PA⊥底面ABCD。 ∴PA⊥BE，

∴BE⊥面PAE。

∴BE⊥PE，即∠PEB=90°

在Rt△PAB中，得PB=。

在Rt△PEB中，

   （III）解：过点C作CN⊥AB于N，过点N作NM⊥PB于M，连结CM，

则MN是CM在面PAB上的射影。由三垂线定理，得CM⊥PB。

∴∠CMN为面PAB与面PBC所成的二面角的平面角。

可求得CN=1，CM=