Question

【题目】已知函数在定义域上满足恒成立．

(1)求实数的值；

(2)令在上的最小值为，求证：．

Answer 1

【答案】(1)；(2)见解析

【解析】

(1) 若在上恒成立，则只需函数即可，，对进行分类讨论可确定函数的单调性，可得当时函数有最大值，利用导数法可判断，又，从而可求得的值；

(2)由(1)知，可得，令，可证，使得，从而可确定在上单调递减，在上单调递增，进而可得，即，即可证出．

(1)的定义域为，且，

①当时，，故在上单调递增，

由于，所以当时，，不合题意．

②当时，，

所以当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

即．

所以要使在时恒成立，则只需，

亦即．

令，则，

所以当时，；当时，，

即在上单调递减，在上单调递增．

又，所以满足条件的只有2，即．

(2)由(1)知，，

所以，

于是．

令，则，

由于，所以，即在上单调递增；

又，，所以，使得，即，

且当时，；当时，，

即在上单调递减；在上单调递增．

所以，即，

所以，

所以．