Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆上一点，l为左准线，PQ⊥l，垂足为Q，若四边形PQF₁F₂为平行四边形，则椭圆的离心率取值范围是（　　）

• A．（0，

  1

  2

  ）
• B．（0，

  2

  2

  ）
• C．（

  1

  2

  ，1）
• D．（

  2

  2

  ，1）

Answer 1

分析：椭圆上动点P横坐标满足：-a≤x≤a，结合PQF₁F₂是平行四边形，得|PQ|=|F₁F₂|=2c=x+

a2

c

，所以x=2c-

a2

c

，由此建立关于ac的不等式，解之再结合椭圆离心率的取值范围，可求得该椭圆的离心率取值范围．

解答：解：根据题意，得
∵点P是椭圆上的动点
∴P点横坐标x满足：-a≤x≤a（等号不能成立）
∵四边形PQF₁F₂为平行四边形，
∴|PQ|=|F₁F₂|=2c
∵左准线方程为x=-

a2

c

，|PQ|=x+

a2

c

=2c，∴x=2c-

a2

c

因此可得-a＜2c-

a2

c

＜a，各项都除以a，得-1＜2e-

1

e

＜1
解不等式，得

1

2

＜e＜1
故选C

点评：本题给出椭圆上存在动点到左准线的距离等于焦距，求椭圆离心率取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和基本概念，椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．