Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（3）若函数，求函数的零点.

Answer 1

【答案】(1) (2) 为奇函数（3）

【解析】试题分析：（1）要使函数有意义， 必须满足，从而得到定义域；（2）利用奇偶性定义判断奇偶性；（3）函数的零点即方程的根.即的根，又为奇函数，所以.易证： 在定义域上为增函数，∴由得，从而解得函数的零点.

试题解析：

（1）要使函数有意义， 必须满足，∴，

因此， 的定义域为.

（2）函数为奇函数.

∵的定义域为，对内的任意有：

，

所以， 为奇函数.

（3）函数的零点即方程的根.即的根，

又为奇函数，所以.

任取，且，

∵，∴，∴

∵且，∴ ，

∴，∴，

∴，即，∴在定义域上为增函数，

∴由得解得或，

验证当时， 不符合题意，当时，符合题意，

所以函数的零点为.