Question

函数数列{f_n（x）}满足：f1(x)=

x

1+x2

(x＞0)，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]
（1）求f₂（x），f₃（x）；
（2）猜想f_n（x）的表达式，并证明你的结论．

Answer 1

（1）f2(x)=f1(f1(x))=

f1(x)

1+ f 21 (x)

=

x

1+2x2

f3(x)=f1(f2(x))=

f2(x)

1+ f 22 (x)

=

x

1+3x2

（2）猜想：fn(x)=

x

1+nx2

(n∈N*)
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，f1(x)=

x

1+x2

2，已知，显然成立
②假设当n=K（K∈N^*）4时，猜想成立，即fk(x)=

x

1+kx2

则当n=K+1时，fk+1(x)=f1(fk(x))=

fk(x)

1+ f 2k (x)

=

x 1+kx2

1+( x 1+kx2 )2

=

x

1+(k+1)x2

即对n=K+1时，猜想也成立．
结合①②可知：猜想fn(x)=

x

1+nx2

对一切n∈N^*都成立．