Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，高为2，则它的外接球上A、B两点的球面距离为

2π-2arccos

1

8

．

Answer 1

分析：由已知中三棱柱的底面边长及高，求出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，求出球心角，利用弧长公式，即可求得结论．

解答：解：∵正三棱柱的底面边长AB=3，∴底面所在平面截其外接球所成的圆O′的半径r=

3

∵正三棱柱的高为2cm，∴球心到圆O′的球心距d=1
根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R²=r²+d²=4
∴R=2
∴cos∠AOB=

22+22-32

2×2×2

=-

1

8

∴∠AOB=π-arccos

1

8

∴外接球上A、B两点的球面距离为2（π-arccos

1

8

）=2π-2arccos

1

8

故答案为：2π-2arccos

1

8

．

点评：本题考查的知识点是棱柱的几何特征及球面距离，根据已知求出已知三棱柱的外接球半径是解答本题的关键，属于中档题．