Question

已知函数f（x）=x⁴-3x²+6．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．
（2）根据已知，只需求出f（x）在点P处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=4x3-6x=4x(x+

6

2

)(x-

6

2

)
令f′（x）＞0得-

6

2

＜x＜0或x＞

6

2

；
令f′（x）＜0得x＜-

6

2

或0＜x＜

6

2

因此，f（x）在区间(-

6

2

，0)和(

6

2

，+∞)为增函数；
在区间(-∞，-

6

2

)和(0，

6

2

)为减函数．
（Ⅱ）设点P（x₀，f（x₀）），
由l过原点知，l的方程为y=f′（x₀）x，
因此f（x₀）=f′（x₀）x₀，即x₀⁴-3x₀²+6-x₀（4x₀³-6x₀）=0，
整理得（x₀²+1）（x₀²-2）=0，解得x0=-

2

或x0=

2

．
所以的方程为y=2

2

x或y=-2

2

x

点评：本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．