Question

6．设函数y=f（x）的定义域为A，集合B={y|y=f（x），x∈A}，若B⊆A，则称函数f（x）为定义域A内的“任性函数”．（1）若函数f（x）=m+$\frac{3+{x}^{2}}{x-1}$是定义域A=（2，+∞）内的“任性函数”，则实数m的取值范围是（-4，+∞）；（2）已知-2≤a≤2且a≠0，-1≤b≤1，则函数f（x）=ax²+b是定义域A=[0，1]内的“任性函数”的概率为$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 （1）根据“任性函数”的定义，只要函数f（x）=m+$\frac{3+{x}^{2}}{x-1}$是值域B是定义域A=（2，+∞）的子集即可；
（2）由题意，本题是几何概型，只要求出a，b满足的区域面积，利用面积比求概率．

解答 解：（1）由题意函数f（x）=m+$\frac{3+{x}^{2}}{x-1}$是定义域A=（2，+∞），函数f（x）=m+$\frac{3+{x}^{2}}{x-1}$=m+2+（x-1）+$\frac{4}{x-1}$＞6+m，
因为f（x）为任性函数，所以6+m≥2，所以m≥-4，故实数m的取值范围是[-4，+∞）；
（2）-2≤a≤2且a≠0，-1≤b≤1，对应区域面积为8，
而函数f（x）=ax²+b是定义域A=[0，1]内的“任性函数”的a，b范围是0≤b，a+b≤1或者b≤1，a+b≥0，对应区域面积为$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=1，如图
由几何概型的公式得到f（x）为任性函数的概率为$\frac{1}{8}$；
故答案为：[-4，+∞）；$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了任性函数的新定义问题和几何概型的概率求法；解答本题的关键是由新定义求出变量范围．