Question

设M为部分正整数组成的集合，数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，已知对任意整数k属于M，当n＞k时，S_n+k+S_n-k=2（S_n+S_k）都成立。
（1）设M=｛1｝，a₂=2，求a₅的值；
（2）设M=｛3，4｝，求数列{a_n}的通项公式。

Answer 1

解：（1）∵k=1，
∴，
∴，
即：，
所以，n＞1时，{a_n}成等差，而a₂=2，，
∴，∴。
（2）由题意：，
，
，
，
当n≥5时，由（1）（2）得：，
由（3）（4）得：，
由（1）（3）得：，
由（2）（4）得：，
由（7）（8）知：成等差，成等差；
设公差分别为：d₁，d₂，
由（5）（6）得：，
，
由（9）（10）得：，
∴{a_n}（n≥2）成等差，设公差为d，
在（1）（2）中分别取n=4，n=5得：
，即，
，即，
∴，∴。