Question

某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆，测得近地点A距离地面m（km），远地点B距离地面n（km），地球半径为R（km），关于这个椭圆有以下四种说法：
①焦距长为n-m；②短轴长为

(m+R)(n+R)

；③离心率e=

n-m

m+n+2R

；④若以AB方向为x轴正方向，F为坐标原点，则与F对应的准线方程为x=-

2(m+R)(n+R)

(n-m)

，其中正确的序号为

 

．

Answer 1

分析：由题意，n+R=a+c，m+R=a-c，
①焦距长为n-m，直接求n-m的表达式即可；
②短轴长为

(m+R)(n+R)

，求出a，c，计算出b，进行验证；
③离心率e=

n-m

m+n+2R

，求出a，c，计算出e进行验证；
④若以AB方向为x轴正方向，F为坐标原点，则与F对应的准线方程为x=-

2(m+R)(n+R)

(n-m)

，在规定的坐标系下求出其准线方程对照即可．

解答：解：由题意n+R=a+c，m+R=a-c，
①可解得n-m=2c，故①正确；
②由n+R=a+c，m+R=a-c，得a=

m+n+2R

2

，c=

n-m

2

∴b=

a2-c2

=

(m+R)(n+R)

，故此命题不对；
③由②知e=

n-m

m+n+2R

故此命题正确；
④由于左焦点在原点，故左准线方程为x=c-

a2

c

=-

b2

c

=-

2(m+R)(n+R)

(n-m)

，此命题正确．
综上知①③④正确
故答案为①③④

点评：本题考查椭圆的应用，综合考查了椭圆的长轴、短轴、以及离心率和准线等性质，本题建立的坐标系原点在焦点上，这无形中给求准线方程带来了一个小问题，要注意通过平移的相关规则得出正确的答案．